KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – THCS CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2006 – 2007 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: (3 điểm) Thu gọn các biểu thức:
A =

B =

C =

Câu 2: (3 điểm)
a) Chứng minh: (x + y + z)2
3.( x2 + y2 + z2 ) ,
x, y, z

b) Cho x + y + z = 1 ; x
-
; y
-
; z
-

Chứng minh:

“ = ” xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu ?
Câu 3: ( 4 điểm)
Giải hệ phương trình và phương trình:
a)
b)

Câu 4: ( 2 điểm ) Cho phương trình : ax2 + bx +c = 0 có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ.
Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là các nghiệm hữu tỉ.
Câu 5 : ( 4 điểm)
Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nữa đường tròn (O) (M khác A và B) . Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M lần lượt tại C và D.
Chứng minh 3 điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
Chứng minh tổng AC +BD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD
Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh: OA2 = OB2 = OH.OK
Câu 6: ( 4 điểm)
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có góc ACB = 450 . Đường tròn đường kính AB cắt AC và BC lần lượt tại M, N. Chứng minh: MN vuông góc với OC và MN =

HẾT.